Ma trận các phép biến đổi trong đồ họa máy tính.
Trả lời cùng với trích dẫn
Để biểu diễn phép biến hình bằng ma trận cần biết 1 ít về hình học xạ ảnh, đại ý như sau. Mỗi điểm trong không gian R^n (không gian Euclid n chiều) ứng với một điểm trong P^n (không gian xạ ảnh n chiều). Mỗi điểm trong P^n lại được biểu diễn bằng một không gian con 1 chiều của R^(n+1). Cách xây dựng biểu diễn được chỉ qua ví dụ.
Ví dụ 1. (n = 1, biểu diễn các điểm trên đường thẳng). Trong mặt phẳng tọa độ R^2 = Oxt chọn *tâm chiếu* là một điểm I nằm trên trục Ot: I = (0,-1). Ta biểu diễn các điểm trên đường thẳng R^1 = Ox. Điểm A = (x,0) được biểu diễn bằng một véc-tơ chỉ phương IA, chẳng hạn, (x,1), (2*x, 2), (3*x,3),.... Điểm xa vô cùng được biểu diễn bằng một véc-tơ chỉ phương Ox, chẳng hạn, (1,0), (2,0), (3,0),... (Chú ý điểm xa vô cùng là điểm mở rộng của không gian: nó không có trong R^1 mà chỉ có trong P^1.) Khi một điểm được biểu diễn bằng véc-tơ v thì nó cũng được biểu diễn bằng véc-tơ k * v, k ≠ 0, bất kỳ. Tập hợp các véc-tơ k*v (kể cả k=0) tạo thành một không gian con 1 chiều của R^2 và chúng cùng biểu diễn một điểm của P^1 (và cả R^1, nếu có).
Ví dụ 2. (n = 2, biểu diễn các điểm trên mặt phẳng). Trong không gian tọa độ R^3 = Oxyt chọn *tâm chiếu* là một điểm I nằm trên trục Ot: I = (0,0,-1). Ta biểu diễn các điểm trên mặt phẳng R^2 = Oxy. Điểm A = (x,y,0) được biểu diễn bằng véc-tơ chỉ phương IA, chẳng hạn (x,y,1), (2*x,2*y,2). Trong mặt phẳng Oxy kẻ đường thẳng qua O theo phương (x,y,0). Điểm nằm trên đường thẳng này mà ở xa vô cùng được biểu diễn bằng một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng này, chẳng hạn (x,y,0), (2*x,2*y,0), (3*x,3*y,0),... (Chú ý tương tự ví dụ 1: điểm xa vô cùng không có trong không gian R^2 mà chỉ có trong không gian P^2.) Cũng tương tự ví dụ 1, khi một điểm được biểu diễn bằng véc-tơ v thì nó cũng được biểu diễn bằng véc-tơ k * v, k ≠ 0, bất kỳ. Tập hợp các véc-tơ k*v tạo thành một không gian con 1 chiều của R^3 và chúng cùng biểu diễn một điểm của P^2 (và cả R^2, nếu có).
Ví dụ 3. (n = 3, biểu diễn các điểm trong không gian). Trong không gian tọa độ R^4 = Oxyzt chọn *tâm chiếu* là một điểm I nằm trên trục Ot: I = (0,0,0,-1). Ta biểu diễn các điểm trong không gian R^3 = Oxyz bằng véc-tơ 4 chiều, tương tự như hai ví dụ trên.
Hình học xạ ảnh có lợi thế là cho phép tính giao điểm của các đường thẳng và giao tuyến của các mặt phẳng mà không cần phải phân chia trường hợp chúng cắt nhau hay song song: 2 đường thẳng cắt nhau ở 1 điểm trong R^n cũng cắt nhau ở điểm tương ứng trong P^n, 2 đường thẳng song song trong R^n vẫn cắt nhau ở một điểm nhất định (xa vô cùng) trong P^n.
Ngoài ra, hình học xạ ảnh còn có lợi thế là cho phép tính các phép biến hình bằng phép nhân ma trận.
Biểu diễn phép biến hình. Nếu xem như các điểm của P^n được biểu diễn bằng véc-tơ (n+1) chiều thì các phép biến hình "thông dụng" như tịnh tiến, quay, lật, vị tự, co giãn 1 hay nhiều tọa độ,... đều biểu diễn được bằng một ma trận cỡ (n+1)*(n+1). Véc-tơ biểu diễn ảnh của một điểm cho trước qua phép biến hình là tích của véc-tơ biểu diễn điểm đã cho với ma trận biểu diễn phép biến hình. Bằng ký hiệu, nếu [T] là ma trận của phép biến hình T, a là một điểm thì a', ảnh của a qua T, được tính bởi
a' = a * [T]
Chú ý quy ước: véc-tơ n chiều là một ma trận có 1 hàng và n cột.
Nếu T1,T2 là hai phép biến hình thì ma trận của tích T1 o T2 là tích các ma trận của T1 và T2:
[T1 o T2] = [T1] * [T2]
Trong P^2, một điểm được xác định bằng véc-tơ 3 chiều và phép biến hình biểu diễn bằng ma trận cỡ 3*3. Để xác định ma trận của 1 phép biến hình T, cần biết 3 điểm a, b, c không thẳng hàng và ảnh a', b', c' của chúng qua T. Từ đó ta lập được phương trình để tính [T]:
a' = a*[T]
b' = b*[T]
c' = c*[T]
hoặc viết lại dưới dạng ma trận:
[a',b',c'] = [a,b,c] * [T]
Chú ý quy ước: [a,b,c] là ma trận gồm 3 hàng a, b, c theo thứ tự lần lượt từ trên xuống dưới.
Điều kiện a, b, c không thẳng hàng là cần và đủ để phương trình này có nghiệm duy nhất.
Để tính ma trận các phép biến hình phức tạp, có thể bắt đầu từ phép tính ma trận cho vài phép biến hình đơn giản, chẳng hạn như:
- tịnh tiến,
- lật quanh trục tọa độ,
- quay quanh gốc tọa độ,
- vị tự với tâm là gốc tọa độ,
- co / giãn 1 tọa độ.
Sau đó, phân tích phép biến hình cần tìm ma trận thành tích các phép biến hình đơn giản rồi áp dụng công thức tính ma trận của tích.
Ma trận các phép biến đổi trong đồ họa máy tính.
