2.4.1. Sinh các hoán vị:
Có nhiều thuật toán đã được phát triển để sinh ra n! hoán vị của tập {1,2,...,n}. Ta sẽ mô tả một trong các phương pháp đó, phương pháp liệt kê các hoán vị của tập {1,2,...,n} theo thứ tự từ điển. Khi đó, hoán vị a1a2...an được gọi là đi trước hoán vị b1b2...bn nếu tồn tại k (1 k n), a1 = b1, a2 = b2,..., ak-1 = bk-1 và ak < bk.
Thuật toán sinh các hoán vị của tập {1,2,...,n} dựa trên thủ tục xây dựng hoán vị kế tiếp, theo thứ tự từ điển, từ hoán vị cho trước a1 a2 ...an. Đầu tiên nếu an-1 < an thì rõ ràng đổi chỗ an-1 và an cho nhau thì sẽ nhận được hoán vị mới đi liền sau hoán vị đã cho. Nếu tồn tại các số nguyên aj và aj+1 sao cho aj < aj+1 và aj+1 > aj+2 > ... > an, tức là tìm cặp số nguyên liền kề đầu tiên tính từ bên phải sang bên trái của hoán vị mà số đầu nhỏ hơn số sau. Sau đó, để nhận được hoán vị liền sau ta đặt vào vị trí thứ j số nguyên nhỏ nhất trong các số lớn hơn aj của tập aj+1, aj+2, ..., an, rồi liệt kê theo thứ tự tăng dần của các số còn lại của aj, aj+1, aj+2, ..., an vào các vị trí j+1, ..., n. Dễ thấy không có hoán vị nào đi sau hoán vị xuất phát và đi trước hoán vị vừa tạo ra.
Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển của hoán vị 4736521.
Cặp số nguyên đầu tiên tính từ phải qua trái có số trước nhỏ hơn số sau là a3 = 3 và a4 = 6. Số nhỏ nhất trong các số bên phải của số 3 mà lại lớn hơn 3 là số 5. Đặt số 5 vào vị trí thứ 3. Sau đó đặt các số 3, 6, 1, 2 theo thứ tự tăng dần vào bốn vị trí còn lại. Hoán vị liền sau hoán vị đã cho là 4751236.
procedure Hoán vị liền sau (a1, a2, ..., an) (hoán vị của {1,2,...,n} khác (n, n1, ..., 2, 1))
j := n 1
while aj > aj+1
j := j 1 {j là chỉ số lớn nhất mà aj < aj+1}
k := n
while aj > ak
k := k - 1 {ak là số nguyên nhỏ nhất trong các số lớn hơn aj và bên phải aj}
đổi chỗ (aj, ak)
r := n
s := j + 1
while r > s
đổi chỗ (ar, as)
r := r - 1 ; s := s + 1
{Điều này sẽ xếp phần đuôi của hoán vị ở sau vị trí thứ j theo thứ tự tăng dần.}
Thuật toán hoán vị n số nguyên
Trả lời cùng với trích dẫn
